向量内积
设有n维向量:
两个向量能够进行内积,需要两个向量元素个数相同。
内积的性质
- 对称性: [x, y]=[y, x]•
- 线性1:[λx, y] = λ[x, y]
- 线性2:[x+y, z] = [x, z] + [y, z]
向量长度
n维向量的长度:
,当||x||=1称为单位向量。
向量长度的性质
- 齐次性:||λx||=|λ|||x||
- 三角不等式:||x||-||y|| ≤ || x ± y|| ≤||x|| + ||y||

向量的三角不等式
向量正交
两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组。
若是两两正交的非零向量,则
线性无关。
- 如果两个向量垂直,则两个向量无关。即一个向量在另一个向量上的投影是一个点。如下左图所示。
- 如果两个向量不垂直,则两个向量线性相关。一个向量会在另一个向量上有投影。两个向量能够互相表示。如下右图所示。

左图:向量线性无关 右图:向量线性相关
例:
解:
则正交,即
。
设则
均等于0。
对矩阵A进行一系列行列变换:
最终得方程组:
规范正交基
m维向量向量空间
中的向量满足:
是向量空间V中的一个基;
两两正交;
都是单位向量,则称
是V的一个规范正交基。
例:
是
的一个规范正交基。
基:也称基底,是描述刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个自己,基元素称为基向量。向量空间中任意一个元素,,都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限,就称向量空间为有限维向量空间,将元素的个数称作向量空间的维数。
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