向量内积

设有n维向量：

两个向量能够进行内积，需要两个向量元素个数相同。

内积的性质

• 对称性： [x, y]=[y, x]•
• 线性1：[λx, y] = λ[x, y]
• 线性2：[x+y, z] = [x, z] + [y, z]

向量长度

n维向量的长度：

，当||x||=1称为单位向量。

向量长度的性质

• 齐次性：||λx||=|λ|||x||
• 三角不等式：||x||-||y|| ≤ || x ± y|| ≤||x|| + ||y||

向量正交

两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组。

若是两两正交的非零向量，则线性无关。

• 如果两个向量垂直，则两个向量无关。即一个向量在另一个向量上的投影是一个点。如下左图所示。
• 如果两个向量不垂直，则两个向量线性相关。一个向量会在另一个向量上有投影。两个向量能够互相表示。如下右图所示。

例：

解：

则正交，即。

设则均等于0。

对矩阵A进行一系列行列变换：

最终得方程组：

规范正交基

m维向量向量空间中的向量满足：

• 是向量空间V中的一个基；
• 两两正交；
• 都是单位向量，则称是V的一个规范正交基。

例：

是的一个规范正交基。

基：也称基底，是描述刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个自己，基元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。

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