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n维向量是什么意思(矩阵概念补充)

100次浏览     发布时间:2024-11-16 10:08:33    

向量内积

设有n维向量:

两个向量能够进行内积,需要两个向量元素个数相同。

内积的性质

  • 对称性: [x, y]=[y, x]•
  • 线性1:[λx, y] = λ[x, y]
  • 线性2:[x+y, z] = [x, z] + [y, z]

向量长度

n维向量的长度:

,当||x||=1称为单位向量。

向量长度的性质

  • 齐次性:||λx||=|λ|||x||
  • 三角不等式:||x||-||y|| ≤ || x ± y|| ≤||x|| + ||y||

向量的三角不等式

向量正交

两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组。

是两两正交的非零向量,则线性无关。

  • 如果两个向量垂直,则两个向量无关。即一个向量在另一个向量上的投影是一个点。如下左图所示。
  • 如果两个向量不垂直,则两个向量线性相关。一个向量会在另一个向量上有投影。两个向量能够互相表示。如下右图所示。

左图:向量线性无关 右图:向量线性相关

例:

解:

正交,即

均等于0。

对矩阵A进行一系列行列变换:

最终得方程组:

规范正交基

m维向量向量空间中的向量满足:

  • 是向量空间V中的一个基;
  • 两两正交;
  • 都是单位向量,则称是V的一个规范正交基。

例:

的一个规范正交基。

:也称基底,是描述刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个自己,基元素称为基向量。向量空间中任意一个元素,,都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限,就称向量空间为有限维向量空间,将元素的个数称作向量空间的维数。

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